Kvadrat Lune

Hipokrat iz Chiosa (fl. C. 460.pr.K.) pokazao je da se područja u obliku mjeseca između kružnih lukova, poznata kao lune, mogu izraziti točno kao pravocrtno područje ili kvadrat. U sljedećem jednostavnom slučaju dvije lune razvijene oko strana pravog trokuta imaju kombinirano područje jednako površini trokuta.

1. Počevši s pravom ΔABC, nacrtajte krug čiji se promjer podudara s AB (strana c), hipotenuzom. Budući da svaki desni trokut nacrtan promjerom kruga zbog svoje hipotenuze mora biti upisan u krug, C mora biti na kružnici.

2. Nacrtajte polukruge promjera AC (strana b) i BC (strana a) kao na slici.

3. Označavati dobivene Lunes L ₁ i L ₂ i rezultirajući S segmente ₁ i S ₂, kao što je prikazano na slici.

4. Sada zbroj lune (L ₁ i L ₂) mora biti jednak zbroju polukruga (L ₁ + S ₁ i L ₂ + S ₂) koji ih sadrže minus dva segmenta (S ₁ i S ₂). Dakle, L ₁ + L ₂ = ^π / ₂ (^b / ₂) ² - S ₁ + ^π / ₂ (^a / ₂) ² - S ₂ (budući da je područje kruga π više od kvadrata polumjera).

5. Zbroj segmenata (S ₁ i S ₂) jednak je površini polukruga na temelju AB minus površina trokuta. Dakle, S ₁ + S ₂ = ^π / ₂ (^c / ₂) ² - ΔABC.

6. Zamjena izraza iz koraka 5 u korak 4 i dijeljenje uobičajenih pojmova, L ₁ + L ₂ = ^π / ₈ (a ² + b ² - c ²) + ΔABC.

7. Budući da je ∠ACB = 90 °, a ² + b ² - c ² = 0, po pitagorejskom teoremu. Tako, L ₁ + L ₂ -ΔABC.

   Hipokrat je uspio razdvojiti nekoliko vrsta lune, neke na lukovima većim i manjim od polukruga, a on je nagovijestio, iako možda nije vjerovao, da bi njegova metoda mogla oblikovati cijeli krug. Na kraju klasičnog doba Boethius (c. Ad 470–524.), Čiji bi latinski prijevodi isječaka Euklida držali svjetlost geometrije koja treperi pola tisućljeća, spomenuo je da je netko izvršio pomicanje kruga. Je li nepoznati genij koristio lune ili neku drugu metodu, nije poznato budući da zbog nedostatka prostora Boethius nije dao demonstraciju. Na taj je način prenio izazov kvadrature kruga zajedno s fragmentima geometrije naizgled korisnim za njegovo obavljanje. Europljani su se nesretno držali zadatka prosvjetiteljstva. Konačno, 1775. pariška Akademija nauka, istrošena zadatkom uočavanja zabluda u mnogim rješenjima koja su joj dostavljena, odbila je imati ikakve veze s kružnicama.