Riemannova hipoteza matematika

Riemannova hipoteza, u teoriji brojeva, hipoteza njemačkog matematičara Bernharda Riemanna o lokaciji rješenja rješenja Riemannove zeta funkcije koja je povezana s teoremom pravih broja i ima važne implikacije na raspodjelu pravih brojeva. Riemann je hipotezu uključio u rad „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ („O broju primarnih brojeva manji od određene količine“), objavljen u studenom 1859. izdanju Monatsberichte der Berliner Akademie („Mjesečni pregled Berlinske akademije ”).

Zeta funkcija je definirana kao beskonačni niz ζ (s) = 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s + ⋯, ili, kompaktnije, , pri čemu zbroj (Σ) izraza za n traje od 1 do beskonačnosti kroz pozitivne cijeli brojeve, a s je fiksni pozitivni cijeli broj veći od 1. Zeta funkciju prvi je proučio švicarski matematičar Leonhard Euler u 18. stoljeću. (Iz tog razloga se ponekad naziva i Eulerova zeta funkcija. Za ζ (1), ova serija je jednostavno harmonični niz, poznat još od antike da bi se povećao bez ikakvih granica - tj. Njegova suma je beskonačna.) Euler je postigao trenutnu slavu kad je pokazao u 1735 da ζ (2) = π ² /6, problem koji je izbjegao najvećih matematičara ere, uključujući i obitelji Švicarski Bernoullijeva (Jakob, Johann i Daniel). Općenitije, Euler je otkrio (1739.) odnos između vrijednosti zeta funkcije za parne brojeve i Bernoullijevih brojeva, koji su koeficijenti u Taylorovom nizu ekspanzija x / (e ^x - 1). (Vidi također eksponencijalnu funkciju.) Još nevjerojatnije, 1737. godine Euler je otkrio formulu koja se odnosi na zeta funkciju, koja uključuje zbrajanje beskonačnog niza pojmova koji sadrže pozitivne cijeli brojeve i beskonačni proizvod koji uključuje svaki glavni broj:

Riemann je proširio proučavanje zeta funkcije na uključivanje složenih brojeva x + iy, gdje je i = kvadratni korijen od − 1, osim linije x = 1 u složenoj ravnini. Riemann je znao da je zeta funkcija jednaka nuli za sve negativne čak i cijele brojeve −2, −4, −6,

(takozvane trivijalne nule) i da ima beskonačan broj nula u kritičnoj traci složenih brojeva koji padaju strogo između linija x = 0 i x = 1. Također je znao da su sve netrivijalne nule simetrične u odnosu na kritična linija x = ¹ / ₂. Riemann je pretpostavio da su sve netrivijalne nule na kritičnoj liniji, pretpostavka koja je kasnije postala poznata kao Riemannova hipoteza.

1914. engleski matematièar Godfrey Harold Hardy dokazano da beskonačan broj rješenja ζ (s) = 0 postojati kritične linije x = ¹ / ₂. Naknadno su razni matematičari pokazali da se velik dio rješenja mora nalaziti na kritičnoj liniji, iako su česti „dokazi“ da su sva netrivijalna rješenja na njemu pogrešani. Računala su također korištena za testiranje rješenja, a prvih 10 trilijuna netrivijalnih rješenja nalaze se na kritičnoj liniji.

Dokaz Riemannove hipoteze imao bi dalekosežne posljedice za teoriju brojeva i za upotrebu prajdova u kriptografiji.

Riemannova hipoteza dugo se smatrala najvećim neriješenim problemom u matematici. Bio je to jedan od 10 neriješenih matematičkih problema (23 u tiskanoj adresi) koji je njemačkom matematičaru Davidu Hilbertu kao izazov predstavljao matematičara 20. stoljeća na Drugom međunarodnom kongresu matematike u Parizu, 8. kolovoza 1900. 2000. godine američki matematičar Stephen Smale je ažurirao Hilbertovu ideju s popisom važnih problema za 21. stoljeće; Riemannova hipoteza bila je broj jedan. Godine 2000. proglašen je Milenijskim problemom, jednim od sedam matematičkih problema koje je za posebnu nagradu odabrao Clay Mathematics Institute iz Cambridgea, Massachusetts, SAD. Rješenje za svaki tisućljetni problem vrijedi milijun dolara. Godine 2008, američka Agencija za napredne istraživačke projekte (DARPA) nabrajala ga je jednim od DARPA matematičkih izazova, 23 matematička problema za koja je tražila prijedloge istraživanja za financiranje - „Matematički izazov devetnaest: Riješite Riemannovu hipotezu. Sveti gral teorija brojeva."