Logika i metalogija
U jednom smislu, logika se mora identificirati s predikatnim računima prvog reda, računima u kojima su varijable ograničene na pojedince fiksne domene - iako može uključivati i logiku identiteta, simboliziranu "=", koja uzima uobičajena svojstva identiteta kao dio logike. U tom je smislu Gottlob Frege postigao formalno računanje logike već 1879. Međutim, ponekad se logika podrazumijeva i kao uključivanje i predikatskih kalkulacija višeg reda, koje prihvaćaju varijable viših tipova, poput onih koji se kreću preko predikata (ili klasa i odnosa) i tako dalje. Ali to je mali korak ka uključivanju teorije skupova, a zapravo se aksiomatska teorija skupa često smatra dijelom logike. Međutim, za potrebe ovog članka prikladnije je raspravu ograničiti na logiku u prvom smislu.
Teško je odvojiti značajna otkrića u logici od onih u metalogiji, jer su sve teoreme koje su logične za logiku o logici i stoga pripadaju metalogici. Ako je p matematički teorem - posebice onaj o logici - a P je spoj matematičkih aksioma koji se koriste za dokazivanje p, onda se svaki p u logici može pretvoriti u teorem, „ili ne-P ili p“. Matematika se, međutim, ne radi izvođenjem izričito svih koraka formaliziranih u logici; odabir i intuitivno shvaćanje aksioma važan je kako za matematiku, tako i za metamatiku. Stvarne logičke izvode, poput onih koje su Alfred North Whitehead i Bertrand Russell izveli neposredno prije Prvog svjetskog rata, nisu logični interesi logika. Stoga bi moglo izgledati suvišno uvesti izraz metalogic. U sadašnjoj klasifikaciji, međutim, metalogika je zamišljena kao bavljenje ne samo nalazima o logičkim proračunima, već i proučavanjem formalnih sustava i formalnih jezika općenito.
Obični se formalni sustav razlikuje od logičkog računa po tome što sustav obično ima namjeravanu interpretaciju, dok logički račun namjerno ostavlja moguća tumačenja otvorena. Stoga se, na primjer, govori o istinitosti ili neistinitosti rečenica u formalnom sustavu, ali s obzirom na logički račun govori se o valjanosti (tj. Da je istinita u svim tumačenjima ili u svim mogućim svjetovima) i o ispunjavanju sposobnosti (ili imati model - tj. biti istinit u određenoj interpretaciji). Dakle, cjelovitost logičkog računa ima sasvim drugačije značenje od onoga formalnog sustava: logički račun dopušta mnoge rečenice tako da ni rečenica ni njena negacija nisu teoremi jer je u nekim tumačenjima točna, a u drugima pogrešna. zahtijeva samo da svaka valjana rečenica bude teorem.
