Kurt Gödel, Gödel napisao je i Goedel (rođen 28. travnja 1906., Brünn, Austro-Ugarska [danas Brno, Češka] - umro 14. siječnja 1978., Princeton, NJ, SAD), matematičar rođen u Austriji, logičar i filozof koji je pribavio ono što je možda najvažniji matematički rezultat 20. stoljeća: njegovu čuvenu teoremu o nepotpunosti, koja kaže da unutar bilo kojeg aksiomatskog matematičkog sustava postoje tvrdnje koje se ne mogu dokazati ili opovrgnuti na temelju aksioma unutar tog sustava; stoga takav sustav ne može biti istovremeno cjelovit i dosljedan. Taj je dokaz Gödel uspostavio kao jednog od najvećih logičara još od Aristotela, a o njegovim se posljedicama i danas osjeća i raspravlja.
temelji matematike: Gödel
Implicitni program Hilberta bio je nada da će sintaktički pojam provabilnosti obuhvatiti semantički pojam istine. Gödel,
Rani život i karijera
Gödel je kao dijete trpio kroz nekoliko razdoblja lošeg zdravlja, nakon praćenja reumatske groznice u dobi od 6 godina, što ga je plašilo da ima neki preostali srčani problem. Njegova cjeloživotna briga za zdravlje možda je pridonijela njegovoj eventualnoj paranoji, koja je uključivala opsesivno čišćenje jela i brigu o čistoći njegove hrane.
Kao austrijski njemački jezik, Gödel se odjednom našao u novonastaloj Čehoslovačkoj zemlji kada je Austro-Ugarsko Carstvo raspušteno na kraju Prvog svjetskog rata 1918. Međutim, šest godina kasnije otišao je na studij u Austriju, na Sveučilištu u Beču, gdje je stekao doktorat iz matematike 1929. Sljedeće godine pridružio se fakultetu na Bečkom sveučilištu.
U tom je razdoblju Beč bio jedno od intelektualnih središta svijeta. Bio je to dom slavnog bečkog kruga, skupine znanstvenika, matematičara i filozofa koji su podržali prirodoslovni, snažno empirijski i antimetafizički pogled poznat kao logički pozitivizam. Gödelov disertacijski savjetnik, Hans Hahn, bio je jedan od vođa Bečkog kruga, a u školu je uveo svog zvjezdanog studenta. Međutim, Gödelovi filozofski stavovi nisu se mogli razlikovati od pozitivista. Pretplatio se na platonizam, teizam i dualizam duha i tijela. Pored toga, bio je i pomalo psihički nestabilan i podložan paranoji - problem koji je postajao sve jači kako je ostario. Tako mu je kontakt s članovima Bečkog kruga ostavio osjećaj da je 20. stoljeće neprijateljski stalo do njegovih ideja.
Gödelovi teoremi
U svom doktorskom radu, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("O cjelovitosti logičkog kalkulusa"), objavljenom u nešto skraćenom obliku 1930., Gödel je dokazao jedan od najvažnijih logičkih rezultata stoljeća - zapravo, o svo vrijeme - naime, teorema o cjelovitosti, koja je utvrdila da je klasična logika prvog reda ili predikatski račun, potpuna u smislu da se sve logičke istine prvog reda mogu dokazati u standardnim sustavima dokazivanja prvog reda.
To se, međutim, nije uspoređivalo s onim što je Gödel objavio 1931. godine, naime, teoremom nepotpunosti: „Über formal undentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ („O formalno nedopustivim prijedlozima Principia Mathematica i srodnih sustava“). Grubo govoreći, ovaj je teorem ustanovio rezultat da je nemoguće koristiti aksiomatičnu metodu za izgradnju matematičke teorije, u bilo kojoj grani matematike, koja podrazumijeva sve istine u toj grani matematike. (U Engleskoj su Alfred North Whitehead i Bertrand Russell godinama proveli na takvom programu koji su 1910., 1912. i 1913. objavili kao Principia Mathematica u tri sveska.) Na primjer, nemoguće je smisliti aksiomatičnu matematičku teoriju koja bilježi čak i sve istine o prirodnim brojevima (0, 1, 2, 3,
). To je bio izuzetno važan negativan rezultat, jer su prije 1931. mnogi matematičari pokušavali učiniti upravo to - konstruirati aksiomske sustave koji bi se mogli koristiti za dokazivanje svih matematičkih istina. Zapravo je nekoliko poznatih logičara i matematičara (npr. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) provelo značajne dijelove svoje karijere na ovom projektu. Nažalost za njih, Gödelov teorem uništio je cijeli ovaj aksiomatični istraživački program.
Međunarodna zvijezda i preseljenje u Sjedinjene Države
Nakon objave teorema o nepotpunosti, Gödel je postao međunarodno poznat intelektualni lik. Nekoliko je puta putovao u Sjedinjene Države i predavao na Sveučilištu Princeton u New Jerseyju, gdje je upoznao Alberta Einsteina. To je bio početak bliskog prijateljstva koje će trajati do Einsteinove smrti 1955. godine.
Međutim, i tijekom tog razdoblja počelo se pogoršavati Gödelovo mentalno zdravlje. Patio je od depresije, a nakon ubojstva Moritza Schlicka, jednog od vođa Bečkog kruga, jedan očajni student Gödel je doživio živčani slom. U godinama koje su pretrpjele, pretrpio je još nekoliko.
Nakon što je nacistička Njemačka anektirala Austriju 12. ožujka 1938., Gödel se našao u prilično neugodnoj situaciji, dijelom i zbog toga što je imao dugu povijest bliskih odnosa s raznim židovskim pripadnicima Bečkog kruga (doista, bio je napadnut na ulicama Beča mladići koji su mislili da je Židov) a dijelom i zato što mu je iznenada prijetila opasnost da se upiše u njemačku vojsku. 20. rujna 1938. Gödel se oženio Adele Nimbursky (rođen Porkert), a kada je godinu dana kasnije izbio Drugi svjetski rat, sa suprugom je pobjegao iz Europe, prelazeći preko sibirske željeznice preko Azije, ploveći preko Tihog oceana, a zatim je vozio drugim vlakom preko Sjedinjenih Država do Princetona, NJ, gdje je uz pomoć Einsteina zauzeo položaj u novoosnovanom Institutu za napredne studije (IAS). Ostatak života proveo je radeći i predajući u IAS-u, odakle se povukao 1976. Gödel je postao američki državljanin 1948. (Einstein je prisustvovao njegovom saslušanju jer je Gödelovo ponašanje bilo prilično nepredvidivo, a Einstein se bojao da bi Gödel mogao sabotirati svoju vlastiti slučaj.)
Godine 1940., samo nekoliko mjeseci nakon što je stigao u Princeton, Gödel je objavio još jedan klasični matematički rad, "Usklađenost aksioma izbora i Generalizirane hipoteze kontinuuma s aksiomima teorije skupa", koji je dokazao da su aksiom izbora i kontinuiteta hipoteze su u skladu sa standardnim aksiomima (kao što su Zermelo-Fraenkelovi aksiomi) teorije skupova. Time je uspostavljena polovina Gödelove pretpostavke - naime, da se hipoteza kontinuuma ne može dokazati istinitom ili lažnom u teorijama standardnih skupova. Gödelov dokaz pokazao je da se u tim teorijama ne može dokazati neistinitim. Godine 1963. američki matematičar Paul Cohen pokazao je da se ni u tim teorijama nije moglo dokazati istinito, potvrđujući Gödelovu pretpostavku.
Gödel je 1949. također dao važan doprinos fizici, pokazujući da Einsteinova teorija opće relativnosti dopušta mogućnost putovanja vremenom.
