Povijest analize
Grci nailaze na neprekidne veličine
Analiza se sastoji od onih dijelova matematike u kojima je važna stalna promjena. Oni uključuju proučavanje gibanja i geometriju glatkih krivulja i površina, posebno proračun tangenti, površina i volumena. Drevni grčki matematičari postigli su veliki napredak i u teoriji i u praksi analize. Teorija ih je prisilila oko 500 bce Pitagorejevim otkrićem iracionalnih veličina i oko 450 bce Zenonovim paradoksima pokreta.
Pitagorejci i iracionalni brojevi
U početku su pitagorejci vjerovali da se sve stvari mogu mjeriti diskretnim prirodnim brojevima (1, 2, 3,
) i njihovi omjeri (obični ulomci ili racionalni brojevi). To je vjerovanje, pak, uzdrmalo otkrićem da dijagonala jediničnog kvadrata (to jest kvadrata čije stranice imaju duljinu 1) ne može se izraziti kao racionalni broj. To je otkriće donio njihov vlastiti pitagorovski teorem koji je utvrdio da je kvadrat na hipotenuzi ispravnog trokuta jednak zbroju kvadrata na druge dvije strane - u modernoj notaciji, c 2 = a 2 + b 2. U jedinicnom kvadraturi dijagonala je hipotenuza pravog trokuta, sa stranicama a = b = 1; stoga je njegova mjera kvadratni korijen od √2 - iracionalni broj. Protiv svoje namjere, pitagorejci su pokazali da racionalni brojevi nisu dovoljni za mjerenje čak i jednostavnih geometrijskih objekata. (Vidi Bočna traka: Neprimjerivi.) Njihova reakcija bila je stvaranje aritmetike segmenata linija, kako je pronađeno u knjizi II. Euklidovih elemenata (oko 300 bce), koja je uključivala geometrijsku interpretaciju racionalnih brojeva. Za Grke su segmenti linija bili općenitiji od brojeva, jer su uključivali kontinuirane i diskretne veličine.
Doista, kvadratni korijen od2 može se povezati s racionalnim brojevima samo beskonačnim postupkom. To je shvatio Euclid, koji je proučavao aritmetiku i racionalnih brojeva i linijskih segmenata. Njegov poznati euklidski algoritam, kada se primjenjuje na par prirodnih brojeva, vodi u konačnom broju koraka do njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja. No, kada se primijeni na par segmenata linija s iracionalnim omjerom, kao što je kvadratni korijen od √2 i 1, ne uspijeva se zaustaviti. Euclid je čak koristio ovo svojstvo neiskorjenjivanja kao kriterij za neracionalnost. Stoga je neracionalnost dovela u pitanje grčku koncepciju broja prisiljavajući ih da se bave beskonačnim procesima.
Zenonovi paradoksi i pojam pokreta
Jednako kao što je kvadratni korijen od2 predstavljao izazov grčkoj koncepciji broja, Zenonovi su paradoksi bili izazov njihovom konceptu pokreta. Aristotel je u svojoj Fizici (oko 350. g. Pr. C.) Citirao:
Nema gibanja jer ono što se premješta mora stići u sredinu staze prije nego što stigne na kraju.
Zenonovi argumenti poznati su samo preko Aristotela, koji ih je citirao uglavnom kako bi ih opovrgnuo. Vjerojatno je Zeno mislio da, da bi stigao bilo gdje, prvo mora prijeći pola puta, a prije toga jednu četvrtinu puta, a prije toga jednu osminu puta i tako dalje. Budući da će ovaj proces prepoloviti udaljenosti ići u beskonačnost (koncept koji Grci ne bi prihvatili kao moguće), Zeno je tvrdio da "dokazuje" da se stvarnost sastoji od nepromjenjivog bića. Ipak, unatoč odvratnosti od beskonačnosti, Grci su ustanovili da je taj koncept neophodan u matematici kontinuiranih veličina. Tako su razmišljali o beskonačnosti što je moguće krajnje moguće, u logičnom okviru zvanom teorija proporcija i koristeći metodu iscrpljenosti.
Teoriju proporcija stvorio je Eudoxus oko 350 bce i sačuvao se u V knjizi Euklidovih elemenata. Utvrdio je točan odnos između racionalnih i veličine proizvoljnih veličine definirajući dvije veličine kako bi bile jednake ako su racionalne veličine manje od njih jednake. Drugim riječima, dvije veličine bile su različite samo ako je bila racionalna veličina strogo između njih. Ova je definicija služila matematičarima dva tisućljeća i otvorila put aritmetizaciji analize u 19. stoljeću, u kojoj su proizvoljni brojevi bili strogo definirani s obzirom na racionalne brojeve. Teorija proporcija bila je prva rigorozna obrada koncepta ograničenja, ideje koja je u srži suvremene analize. Suvremeno, Eudoxusova teorija definirala je proizvoljne veličine kao granice racionalnih veličina, a osnovne teoreme o zbroju, razlici i zbroju veličina bile su ekvivalentne teoremama o zbroju, razlici i produktu granica.
