Riemannova zeta funkcija, funkcija korisna u teoriji brojeva za ispitivanje svojstava pravih brojeva. Napisano kao ζ (x), izvorno je bilo definirano kao beskonačni nizζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kad je x = 1, ovaj niz nazivamo harmonijskim nizom, koji se povećava bez veza - tj. Njegova suma je beskonačna. Za vrijednosti x veće od 1, serija se konvergira u konačni broj jer se dodaju uzastopni izrazi. Ako je x manji od 1, zbroj je opet beskonačan. Zetska funkcija bila je poznata švicarskom matematičaru Leonhardu Euleru 1737. godine, ali prvo ju je opsežno proučio njemački matematičar Bernhard Riemann.
Godine 1859. Riemann je objavio rad u kojem je dao eksplicitnu formulu za broj prašuma do bilo kojeg unaprijed zadanog ograničenja - odlučno poboljšanje u odnosu na približnu vrijednost datu teoremom pravog broja. Međutim, Riemannova formula ovisila je o poznavanju vrijednosti pri kojima je generalizirana verzija zeta funkcije jednaka nuli. (Riemannova zeta funkcija definirana je za sve složene brojeve - brojeve oblika x + iy, gdje je i = kvadratni korijen od − 1 - osim za liniju x = 1.) Riemann je znao da je funkcija jednaka nuli za sve negativne čak cijeli brojevi −2, −4, −6,
(takozvane trivijalne nule) i da ima beskonačan broj nula u kritičnoj traci složenih brojeva između linija x = 0 i x = 1, a također je znao da su sve netrivijalne nule simetrične u odnosu na kritične linija x = 1 / 2. Riemann je pretpostavio da su sve netrivijalne nule na kritičnoj liniji, pretpostavka koja je kasnije postala poznata kao Riemannova hipoteza.
Godine 1900. njemački matematičar David Hilbert nazvao je Riemannovu hipotezu jednim od najvažnijih pitanja u čitavoj matematici, na što ukazuje i njezino uključivanje u svoj utjecajni popis 23 neriješena problema s kojima je izazvao matematičare 20. stoljeća. Godine 1915. engleski matematičar Godfrey Hardy dokazao je da se na kritičnoj liniji događa beskonačni broj nula, a do 1986. godine pokazalo se da je prvih 1.500.000.001 netrivijalnih nula na kritičnoj liniji. Iako se hipoteza ipak može pokazati lažnom, istraga ovog teškog problema obogatila je razumijevanje složenih brojeva.
