Diferencijalna jednadžba

Diferencijalna jednadžba, matematička izjava koja sadrži jedan ili više derivata - to je izraze koji predstavljaju stope promjene kontinuirano različitih količina. Diferencijalne jednadžbe vrlo su česte u znanosti i inženjerstvu, kao i u mnogim drugim područjima kvantitativnog proučavanja, jer ono što se može izravno promatrati i mjeriti kod sustava koji prolaze promjene jesu njihove stope promjene. Rješenje diferencijalne jednadžbe je općenito jednadžba koja izražava funkcionalnu ovisnost jedne varijable o jednoj ili više drugih; obično sadrži stalne izraze koji nisu prisutni u izvornoj diferencijalnoj jednadžbi. Drugi način da to kažemo jest da rješenje diferencijalne jednadžbe proizvodi funkciju koja se može koristiti za predviđanje ponašanja izvornog sustava, barem unutar određenih ograničenja.

analiza: Newtonove i diferencijalne jednadžbe

primjena analize su diferencijalne jednadžbe koje odnose brzine promjene različitih količina s njihovim trenutnim vrijednostima,

Diferencijalne jednadžbe razvrstane su u nekoliko širokih kategorija, a one su zauzvrat dodatno podijeljene u mnoge potkategorije. Najvažnije kategorije su obične diferencijalne jednadžbe i parcijalne diferencijalne jednadžbe. Kada funkcija uključena u jednadžbu ovisi o samo jednoj varijabli, njeni su derivati ​​obični derivati, a diferencijalna jednadžba klasificirana je kao obična diferencijalna jednadžba. S druge strane, ako funkcija ovisi o nekoliko neovisnih varijabli, tako da su njeni derivati ​​djelomični derivati, diferencijalna jednadžba klasificira se kao djelomična diferencijalna jednadžba. Slijede primjeri običnih diferencijalnih jednadžbi:

U njima, y ​​označava funkciju, a ili t ili x je neovisna varijabla. Ovdje se koriste simboli k i m kako bi označili određene konstante.

Koji god tip bio, za diferencijalnu jednadžbu kaže se da je n-og reda ako uključuje derivat n-og reda, ali ne i derivat reda koji je veći od ovoga. Jednadžba je primjer djelomične diferencijalne jednadžbe drugog reda. Teorije običnih i djelomičnih diferencijalnih jednadžbi izrazito su različite, te se stoga dvije kategorije tretiraju odvojeno.

Umjesto jedne diferencijalne jednadžbe, predmet proučavanja može biti simultani sustav takvih jednadžbi. Formulacija zakona dinamike često vodi takvim sustavima. U mnogim slučajevima, jednu diferencijalnu jednadžbu n-og reda povoljno je zamjenjivo sustavom n istodobnih jednadžbi, od kojih je svaki prvog reda, tako da se mogu primijeniti tehnike iz linearne algebre.

Obična diferencijalna jednadžba u kojoj su, na primjer, funkcija i neovisna varijabla označeni s y i x, zapravo je implicitni sažetak osnovnih karakteristika y kao funkcije x. Te bi karakteristike vjerojatno bile dostupnije za analizu ako bi se mogla dobiti izričita formula za y. Takva formula, ili barem jednadžba u x i y (koja ne uključuje derivate) koja se može izdvojiti iz diferencijalne jednadžbe, naziva se rješenjem diferencijalne jednadžbe. Postupak izdvajanja rješenja iz jednadžbe primjenom algebri i računanja naziva se rješavanjem ili integriranjem jednadžbe. Treba, međutim, napomenuti da diferencijalne jednadžbe koje se mogu izričito riješiti čine malu manjinu. Stoga se većina funkcija mora proučavati neizravnim metodama. Čak se i njegovo postojanje mora dokazati kada ne postoji mogućnost da ga se proizvede na uvid. U praksi se za dobivanje korisnih približnih rješenja koriste metode numeričke analize koja uključuje računala.