Matematika kontinuirane hipoteze

Hipoteza kontinuuma, izjava teorije skupova da je skup realnih brojeva (kontinuum) u smislu toliko mali koliko može biti. 1873. njemački matematičar Georg Cantor dokazao je da je kontinuum neizbrojiv - odnosno da su stvarni brojevi veća beskonačnost od brojanja brojeva - što je ključni rezultat u pokretanju teorije skupova kao matematičkog predmeta. Nadalje, Cantor je razvio način klasifikacije veličine beskonačnog skupa prema broju njegovih elemenata ili njegovoj kardinalnosti. (Vidi teoriju skupova: Kardinalnost i transfinitirani brojevi.) U ovim se uvjetima hipoteza o kontinuumu može iznijeti na sljedeći način: Kardinalnost kontinuuma najmanji je nebrojivi kardinalni broj.

teorija skupova: Kardinalnost i transfinitirani brojevi

pretpostavka poznata kao hipoteza kontinuuma.

U Cantor-ovoj notaciji hipoteza o kontinuumu može se izreći jednostavnom jednadžbom 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, gdje je ℵ ₀ kardinalni broj beskonačnog brojivog skupa (poput skupa prirodnih brojeva) i kardinalni brojevi većih „ kompleti koji se mogu dobro naručiti ”su ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, indeksirano rednim brojevima. Kardinalnost kontinuuma može se pokazati jednakom 2 ^{ℵ ₀}; stoga hipoteza o kontinuumu isključuje postojanje skupa međuprostornih veličina između prirodnih brojeva i kontinuuma.

Jača izjava je općenita hipoteza o kontinuumu (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} za svaki redni broj α. Poljski matematičar Wacław Sierpiński dokazao je da se s GCH-om može izvući aksiom izbora.

Kao i kod aksioma izbora, američki matematičar rođen u Austriji Kurt Gödel dokazao je 1939. godine da će, ako su ostali standardni aksiomi Zermelo-Fraenkel (ZF; vidjeti

tablice) su konzistentni, tada ne opovrgavaju hipotezu kontinuuma ili čak GCH. Odnosno, rezultat dodavanja GCH ostalim aksiomima ostaje dosljedan. Tada je 1963. američki matematičar Paul Cohen dovršio sliku pokazujući, opet pod pretpostavkom da je ZF dosljedan, da ZF ne dokazuje dokaz hipoteze kontinuuma.

Budući da ZF niti dokazuje niti opovrgava hipotezu kontinuuma, ostaje pitanje hoće li prihvatiti hipotezu kontinuuma zasnovanu na neformalnoj koncepciji o tome što su skupovi. Opći je odgovor u matematičkoj zajednici bio negativan: hipoteza o kontinuumu je ograničavajući iskaz u kontekstu u kojem nije poznat razlog nametanja ograničenja. U teoriji skupa, operacija postavljanja snage dodjeljuje svakom skupu kardinalnosti ℵ _α svoj skup svih podskupova, koji ima kardinalnost 2 ^{ℵ _α}. Čini se da nema razloga nametati ograničenje za različite podskupove koje može imati beskonačni skup.