Euklidska geometrija
Ako razmotrimo euklidsku geometriju, jasno vidimo da se odnosi na zakone koji reguliraju položaje krutih tijela. Izgleda da je genijalna misao pronašla sve odnose koji se odnose na tijela i njihove relativne položaje do vrlo jednostavnog koncepta "udaljenost" (Strecke). Udaljenost označava kruto tijelo na kojem su određene dvije materijalne točke (oznake). Koncept jednakosti udaljenosti (i kutova) odnosi se na eksperimente koji uključuju slučajnosti; iste primjedbe vrijede i za teoreme o sukladnosti. Euklidska geometrija, u obliku u kojem nam je predan od Euclida, koristi temeljne pojmove "ravna linija" i "ravnina" za koje se čini da ne korespondiraju, ni u kom slučaju, ne tako izravno, s iskustvima što se tiče položaja krutih tijela. Na ovo se mora napomenuti da se pojam pravog pravca može svesti na udaljenost.1 Štoviše, geometričari su manje bili zaokupljeni odnosom svojih temeljnih pojmova s iskustvom, nego logičkim zaključivanjem geometrijskih prijedloga iz nekoliko aksioma iskazanih na početku.
Označimo ukratko kako se možda, temeljem euklidske geometrije, može dobiti koncept udaljenosti.
Polazimo od jednakosti udaljenosti (aksiom jednakosti udaljenosti). Pretpostavimo da je od dvije nejednake udaljenosti jedna uvijek veća od druge. Za nejednakost udaljenosti vrijedi jednaki aksiomi kao i za nejednakost brojeva.
Tri udaljenosti AB 1, BC 1, CA 1 može, ako CA 1 biti prikladno izabran, imaju svoje oznake BB 1, CC 1, AA 1 postavljenih na jednom drugom na takav način da se rezultati trokut ABC. Udaljenost CA 1 ima gornju granicu za koju je ta konstrukcija još uvijek moguća. Točke A, (BB ') i C tada leže u "ravnoj liniji" (definicija). To dovodi do pojmova: proizvesti udaljenost za iznos jednak sebi; dijeljenje udaljenosti na jednake dijelove; izražavanje udaljenosti u smislu broja pomoću mjerne štapine (definicija razmaka između dviju točaka).
Kada se pojam intervala između dviju točaka ili duljine udaljenosti dobije na ovaj način, potreban nam je samo sljedeći aksiom (Pitagorov teorem) da bismo analitički došli do euklidske geometrije.
Svakoj točki prostora (referentnom tijelu) mogu se dodijeliti tri broja (koordinate) x, y, z - i obrnuto - tako da za svaki par točaka A (x 1, y 1, z 1) i B (x 2, y 2, z 2) teorem drži:
mjera-broj AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Svi daljnji pojmovi i prijedlozi euklidske geometrije mogu se na toj osnovi izgraditi čisto logično, posebno također i propozicije o pravoj i ravnini.
Te primjedbe, naravno, nisu namijenjene zamjeni strogo aksiomatične konstrukcije euklidske geometrije. Mi samo želimo vjerodostojno naznačiti kako se svi pojmovi geometrije mogu povezati s onom udaljenošću. Mogli smo podjednako dobro iskoristiti čitavu osnovu Euklidove geometrije u posljednjem teoremu iznad. Odnos prema temeljima iskustva bi se tada opremio dodatnom teoremom.
Koordinata može biti i mora biti odabrana tako da se dva para točaka razdvojenih jednakim intervalima, izračunato pomoću Pythagorasovog teorema, podudaraju s jednom te istom odgovarajućom odabranom razmakom (na krutini).
Koncepti i prijedlozi euklidske geometrije mogu se izvesti iz Pitagorovog prijedloga bez uvođenja krutih tijela; ali ti koncepti i propozicije tada ne bi imali sadržaje koji bi se mogli testirati. Nisu "istinite" tvrdnje, već samo logično ispravne tvrdnje čisto formalnog sadržaja.
