Formalna logika

Semantički stol

Od 1980-ih godina druga tehnika utvrđivanja valjanosti argumenata u PC-u ili LPC-u dobiva na popularnosti, kako zbog lakoće učenja, tako i zbog jednostavne primjene računalnih programa. Izvorno predložio nizozemski logičar Evert W. Beth, to je potpunije razvio i objavljivao američki matematičar i logičar Raymond M. Smullyan. Oslanjajući se na zapažanje da je nemoguće da pretpostavke valjanog argumenta budu istinite dok je zaključak neistinit, ova metoda pokušava interpretirati (ili procijeniti) prostorije na takav način da su svi istovremeno zadovoljni i negacijom zaključkom je također zadovoljan. Uspjeh u takvom nastojanju pokazao bi argument nevažećim, dok ako ne bi pronašao takvo tumačenje, pokazao bi da je valjan.

Konstrukcija semantičke tablice odvija se na sljedeći način: izrazite pretpostavke i negaciju zaključka argumenta u PC-u koristeći samo negaciju (∼) i disjunkciju (∨) kao prijedloge veznika. Uklonite svaku pojavu dva negacijska znaka u nizu (npr., Becomesa postaje ∼a). Sada konstruirajte shemu stabla koja se graniči prema dolje tako da je svaka disjunkcija zamijenjena s dvije grane, jednom za lijevu disjunktu i drugom za desnu. Izvorna disjunkcija je istinita ako je istina bilo koje grane. Pozivanje na De Morganove zakone pokazuje da je negacija disjunkcije istinita samo u slučaju da su negacije oba disjunkata istinite [tj., ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Ovo semantičko promatranje dovodi do pravila da negacija disjunkcije postaje jedna grana koja sadrži negaciju svakog disjunkta:

Razmotrite sljedeći argument:

Pisati:

Sada iscrtajte disjunkciju i formirajte dvije grane:

Samo ako su sve rečenice u barem jednoj grani istinite, moguće je da su izvorne premise istinite, a zaključak netočan (ekvivalentno negaciji zaključka). Prateći liniju prema gore u svakoj grani do vrha stabla, uočavamo da nijedno vrednovanje a na lijevoj grani neće rezultirati time da sve rečenice u toj grani dobiju vrijednost istinite (zbog prisutnosti a i ∼a), Slično tome, u desnoj grani prisutnost b i makesb onemogućuje da vrednovanje rezultira time da sve rečenice grane dobiju vrijednost istinite. To su sve moguće grane; stoga je nemoguće pronaći situaciju u kojoj su pretpostavke istinite i zaključak lažan. Izvorni argument je stoga valjan.

Ova se tehnika može proširiti i na druge veze:

Nadalje, u LPC-u je potrebno uvesti pravila za izradu kvantificiranih wff-ova. Jasno, svaka grana koja sadrži i (∀x) ϕx i ∼ϕy je ona u kojoj ne mogu sve rečenice u toj grani biti istovremeno zadovoljene (pod pretpostavkom ω-dosljednosti; vidi metalogic). Opet, ako sve grane ne budu istovremeno zadovoljavajuće, izvorni argument je valjan.

Posebni sustavi od LPC

LPC kao što je objašnjeno gore, može se mijenjati ili ograničavanjem ili proširivanjem raspona wff-a na različite načine:

• 1.Dijelni sustavi LPC-a. Ovdje su izloženi neki od važnijih sustava koji proizvode restrikcije:

  • a. Možda će biti potrebno da svaka predikatna varijabla bude monadna, a istovremeno dopušta beskonačan broj pojedinačnih i predikatskih varijabli. Atomski wffs su jednostavno oni koji se sastoje od predikatne varijable, a slijedi jedna pojedinačna varijabla. Inače, pravila o formiranju ostaju kao i prije, a definicija valjanosti je također kao i prije, mada na očigledne načine pojednostavljena. Ovaj je sustav poznat kao monadski LPC; on pruža logiku svojstava, ali ne i odnosa. Jedna važna karakteristika ovog sustava je da je on odlučan. (Međutim, uvođenje čak jedne dijadikalne varijable predikata učinilo bi sustav neodredivim, a u stvari, čak i sustav koji sadrži samo jednu dijadikalnu varijablu predikata i nijedna druga predikatna varijabla uopće se nije pokazao.)

  • bA još jednostavniji sustav može se formirati zahtijevajući (1) da svaka predikatna varijabla bude monadna, (2) da se koristi samo jedna pojedinačna varijabla (npr. x), (3) da se svaka pojava ove varijable veže, i (4) da se u okviru bilo kojeg drugog ne pojavljuje kvantifikator. Primjeri wff-a ovog sustava su (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Što god je ϕ, to je i ψ i χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Postoji nešto što je ϕ, ali nije ψ“); i (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Ako je sve što je ϕ to je then, onda je nešto i ϕ i ψ“). Notacija za ovaj sustav može se pojednostaviti izostavljanjem x posvuda i pisanjem ∃ϕ za „Nešto je ϕ“, ∀ (ϕ ⊃ ψ) za „Što god je ϕ to je ψ“ i tako dalje. Iako je ovaj sustav rudimentarniji čak i od monadičkog LPC-a (čiji je fragment), u njemu se mogu predstaviti oblici širokog raspona zaključaka. To je također odlučujući sustav i za njega se mogu dati postupci odlučivanja elementarne vrste.

• 2. Proširenja LPC-a. Razrađeni su složeniji sustavi u kojima se može izraziti širi raspon prijedloga dodavanjem LPC-a novih simbola raznih vrsta. Izravnije od takvih dodataka su:

  • a. Jedna ili više pojedinačnih konstanta (recimo, a, b,

    ): ove se konstante tumače kao imena određenih pojedinaca; formalno se razlikuju od pojedinih varijabli činjenicom da se ne mogu pojaviti unutar kvantifikatora; npr. (∀x) je kvantifikator, ali (∀a) nije.

  • b. Jedna ili više predikatskih konstanti (recimo, A, B,

    ), svaki od njih određenog stupnja, koji se misli kao određivanje specifičnih svojstava ili odnosa.

Daljnji mogući dodatak, koji zahtijeva nešto potpunije objašnjenje, sastoji se od simbola dizajniranih da se zalažu za funkcije. Pojam funkcije može se u sadašnje svrhe dovoljno objasniti kako slijedi. Kaže se da postoji određena funkcija od n argumenata (ili stupnja n) kada postoji pravilo koje specificira jedinstveni objekt (koji se naziva vrijednost funkcije) kad god su navedeni svi argumenti. Na primjer, u domeni ljudskih bića, „majka -“ je monadska funkcija (funkcija jednog argumenta), jer za svako ljudsko biće postoji jedinstvena osoba koja je njegova majka; i u domeni prirodnih brojeva (tj. 0, 1, 2,

), "Zbroj - i -" je funkcija dvaju argumenata, jer za bilo koji par prirodnih brojeva postoji prirodni broj koji je njihov zbroj. Simbol funkcije može se zamisliti kao tvorba imena iz drugih imena (njegovih argumenata); prema tome, kad god se brojevi x i y imenuju, "zbroj x i y" također imenuje broj, a slično je i za ostale vrste funkcija i argumenata.

Da bi se funkcije mogle izraziti u LPC-u mogu se dodati:

• c.Ona ili više varijabli funkcija (recimo, f, g,

  ) ili jednu ili više funkcijskih konstanti (recimo, F, G,

  ) ili oboje, svaki određeni stupanj. Prvi se tumače kao raspon prema funkcijama navedenih stupnjeva, a drugi kao označavanje specifičnih funkcija tog stupnja.

Kada se neki ili svi a-c dodaju u LPC, pravila tvorbe navedena u prvom stavku odjeljka na donjem računu predikata (vidi gore Donji predikatski račun) moraju se izmijeniti kako bi se novi simboli mogli uključiti u wffs. To se može učiniti na sljedeći način: izraz se najprije definira kao (1) pojedinačna varijabla ili (2) pojedinačna konstanta ili (3) bilo koji izraz nastao prefiksiranjem varijable funkcije ili funkcijske konstante stupnja n u bilo koji n pojam (Ovi su izrazi - argumenti simbola funkcije - obično razdvojeni zarezima i zatvoreni u zagradama). Pravilo formacije 1 zamjenjuje se sljedećim:

• 1 '. Izraz koji se sastoji od predikatne varijable ili predikatne konstante stupnja n, a slijede n izrazi, je wff.

Aksiomatična osnova dana u odjeljku o aksiomatizaciji LPC-a (vidi gore Aksiomatizacija LPC-a) također zahtijeva sljedeću izmjenu: u aksiomskoj shemi 2 bilo koji je termin dopušten zamijeniti a kada je formiran β, pod uvjetom da nijedna varijabla koja nije slobodna u pojam postaje vezan u β. Sljedeći će primjeri ilustrirati uporabu navedenih dodataka LPC-u: neka vrijednosti pojedinih varijabli budu prirodni brojevi; neka pojedinačne konstante a i b stoje za brojevima 2 i 3, respektivno; neka znači da je „prvobitno“; i neka F predstavlja dijadijsku funkciju "zbroj". Tada AF (a, b) izražava prijedlog „Zbroj 2 i 3 je premošten“, a (∃x) AF (x, a) izražava prijedlog „Postoji broj takav da je zbroj njega i 2 prost „.

Uvođenje konstanti obično prati dodavanje aksiomatične osnove posebnih aksioma koji sadrže te konstante, dizajniranih da izraze principe koji drže objekte, svojstva, odnose ili funkcije koje ih predstavljaju - iako ne sadrže objekte, svojstva, odnosi ili funkcije općenito. Može se odlučiti, na primjer, da se upotrebljava konstanta A za predstavljanje dijadijskog odnosa "veće od" (tako da Axy znači "x je veći od y" i tako dalje). Ta je veza, za razliku od mnogih drugih, tranzitivna; tj. ako je jedan objekt veći od sekunde i taj drugi je zauzvrat veći od trećine, tada je prvi veći od trećeg. Dakle, može biti dodaje se sljedeća posebna aksiom shema: ako t ₁, t ₂, i t ₃ su svi uvjeti, a zatim (U ₁ t ₂ · Na ₂ t ₃) ⊃ Na _1. t ₃ je aksiom. Na takav se način mogu konstruirati sustavi za izražavanje logičkih struktura različitih određenih disciplina. Područje u kojem je učinjeno najviše takvih radova je područje aritmetike prirodnog broja.

PC i LPC se ponekad kombiniraju u jedinstveni sustav. To se može najjednostavnije postići dodavanjem propozicijskih varijabli na popis primitiva LPC-a, dodavanjem pravila o formiranju s učinkom da samo propozicijska varijabla ostaje wff i brisanjem "LPC" u aksiomskoj shemi 1. To daje kao wff takve izraze kao (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx i (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-s-identiteta. Riječ "je" ne koristi se uvijek na isti način. U prijedlogu poput (1) "Sokrat je snubljen", izraz ispred "je" naziva pojedinca, a izraz koji slijedi za to je svojstvo pripisano toj osobi. Ali, u prijedlogu kao što je (2) "Sokrat je atenski filozof koji je pio hemokiju", izrazi koji su prethodili i slijede "je" obojica su imenovani pojedinci, a smisao cijele tvrdnje je da je pojedinac imenovan prvim isti pojedinac kao i pojedinac imenovan drugim. Prema tome, u 2 "je" može se proširiti na "isti je pojedinac kao", dok u 1 to ne može. Kao što se upotrebljava u 2, "je" označava dijadijski odnos - naime, identitet - za koji se tvrdi da se prijedlog drži između dvije osobe. Prijedlog identiteta u ovom kontekstu treba shvatiti kao tvrdeći samo to; posebno se ne može shvatiti kao tvrdnja da dva izraza imenovanja imaju isto značenje. Primjer koji mnogo raspravlja za ilustriranje ove posljednje točke jest „Jutarnja zvijezda je večernja zvijezda.“ Netočno je da izrazi „jutarnja zvijezda“ i „večernja zvijezda“ znače isto, ali istina je da je objekt na koji se poziva prvi isti kao onaj koji spominje potonja (planeta Venera).

Da bi se omogućilo izražavanje oblika identitetskih prijedloga, LPC se dodaje dijadikalna konstanta predikata za koju je najčešća notacija = (napisana između, prije nego što su njeni argumenti). Namjereno tumačenje x = y je da je x ista osoba kao y, a prikladno čitanje je "x je istovjetno sa y." Njegova negacija ∼ (x = y) obično se skraćuje kao x ≠ y. Definiciji LPC modela danom ranije (vidi gore Valjanost u LPC-u) sada je dodano pravilo (koje na očigledan način odgovara predviđenom tumačenju) da vrijednost x = y treba biti 1 ako je isti član D je dodijeljen i x i y te da u protivnom njegova vrijednost treba biti 0; valjanost se tada može definirati kao i prije. Sljedeći dodaci (ili neki ekvivalentni) napravljeni su na aksiomatskoj osnovi za LPC: aksiom x = x i aksiomna shema, gdje su a i b bilo koje pojedinačne varijable, a α i β su wffi koji se razlikuju samo u tome, na jedno ili više mjesta gdje α ima slobodnu pojavu a, β ima slobodnu pojavu b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) je aksiom. Takav je sustav poznat kao niži predikat-račun-s-identitetom; može, naravno, biti dodatno pojačana na druge načine spomenute u "Proširenja LPC-a", u kojem slučaju bilo koji izraz može biti argument =.

Identitet je odnos ekvivalencije; tj. ona je refleksna, simetrična i tranzitivna. Njegova refleksivnost izravno je izražena u aksiomu x = x, a teoreme koje izražavaju njezinu simetričnost i tranzitivnost lako se mogu izvesti iz dane osnove.

Određeni wffs LPC s identitetom izričite prijedloge o broju stvari koje posjeduju određeno svojstvo. "Barem jedna stvar je ϕ", mogla bi se, naravno, već izraziti (∃x) ϕx; "Barem dvije različite (nedentistične) stvari su ϕ" sada se mogu izraziti s (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); a slijed se može nastaviti na očit način. „Najviše je jedna stvar ϕ“ (tj. „Ne postoje dvije različite stvari both“) može se izraziti negacijom prethodno spomenutog wff-a ili njegovim ekvivalentom, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], a slijed se opet može lako nastaviti. Formula za „Točno jedna stvar je ϕ“ može se dobiti spajanjem formula za „Najmanje jedna stvar je“ i „Najviše je jedna stvar ϕ“, ali jednostavniji wff ekvivalentan ovoj veznici je (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], što znači „nešto je ϕ, a sve što je ϕ to je stvar.“ Prijedlog „Točno dvije stvari su ϕ“ može se predstaviti s (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tj. "Postoje dvije nepristojne stvari od kojih je svaka ϕ, a sve što je ϕ jedno ili drugo od ovoga." Jasno je da se ovaj niz također može proširiti da bi se dobila formula za „Točno n stvari su ϕ“ za svaki prirodni broj n. Prikladno je skraćivati ​​wff za „Točno jedna stvar je ϕ“ na (∃! X) ϕx. Ovaj se posebni kvantifikator često čita naglas naglas kao "E-Shriek x."

Definitivni opisi

Kada određeno svojstvo ϕ pripada jednom i samo jednom objektu, prikladno je imati izraz koji imenuje taj objekt. U tu svrhu uobičajeni je naziv (ιx) ϕx, koji se može čitati kao „stvar koja je ϕ“ ili ukratko kao „ϕ“. Općenito, gdje je a svaka pojedinačna varijabla, a α je bilo koji wff, (ιa) α tada označava jedinstvenu vrijednost a koja čini α istinitim. Izraz oblika "tako i tako" naziva se definitivnim opisom; i (ιx), poznat kao operator opisa, može se zamisliti kao formiranje imena pojedinca iz oblika prijedloga. (ιx) analogan je kvantifikatu, jer, ako je prefiksan na wff α, on veže svaku slobodnu pojavu x u α. Dopušteno je objavljivanje vezanih varijabli; u najjednostavnijem slučaju, (ιx) ϕx i (ιy) ϕy svaki se može čitati jednostavno kao „ϕ“.

Što se tiče pravila formacije, definitivni opisi mogu se ugraditi u LPC puštajući izraze obrasca (ιa) α računati kao pojmove; Pravilo 1 ′ gore, u „Proširenja LPC-a“ dopušta im da se pojavljuju u atomskim formulama (uključujući formula identiteta). „Φ je (tj. Ima svojstvo) ψ“ tada se može izraziti kao ψ (ιx) ϕx; Y je (isti pojedinac kao) ϕ ”kao y = (ιx) ϕx; "Φ je (isti pojedinac kao) the" kao (ιx) ϕx = (ιy) ψy; i tako dalje.

Ispravna analiza prijedloga koji sadrže definitivne opise bila je predmet velike filozofske polemike. Međutim, jedan široko prihvaćeni račun - koji je uglavnom predstavljen u Principia Mathematici i poznat kao Russell-ova teorija opisa - podrazumijeva da "ϕ je ψ" treba shvatiti kao značenje da je točno jedna stvar ϕ i da je ta stvar također. U tom se slučaju može izraziti wffom LPC-a s identitetom koji ne sadrži operatore opisa - naime, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogno, „y je ϕ“ analizira se kao „y je ϕ, a ništa drugo nije ϕ“ i stoga je izraženo pomoću (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ je ψ“ analizira se kao „točno jedna stvar je ϕ, jedna stvar je ψ, a što god je ϕ je ψ“ i stoga je izraženo pomoću (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx i (ιx) ϕx = (ιy) ψy tada se mogu smatrati kraticama za (1), (2) i (3); i generaliziranjem složenijih slučajeva, svi wffs koji sadrže operatore opisa mogu se smatrati kraticama za duže wffs koje to ne čine.

Analiza koja dovodi do (1) kao formule za „ϕ je ψ“ dovodi do sljedećeg za „ϕ nije ψ“: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Važno je napomenuti da (4) nije negacija (1); ta negacija je, umjesto toga, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Razlika u značenju između (4) i (5) leži u činjenici da je (4) istinita samo kad postoji točno jedna stvar koja je ϕ, a ta stvar nije ψ, ali (5) je istinita i u ovom slučaju i također kad uopće ništa nije ϕ i kad je više od jedne stvari ϕ. Zanemarivanje razlike između (4) i (5) može rezultirati ozbiljnom zbrkom misli; u uobičajenom govoru često je nejasno da li netko koji negira da je "priznaje" da je točno jedna stvar ϕ, ali poriče da je to ψ, ili negira da je točno jedna stvar ϕ.

Osnovna tvrdnja Russell-ove teorije opisa je da se prijedlog koji sadrži definitivan opis ne može smatrati tvrdnjom o objektu kojem je taj opis ime, već kao egzistencijalno kvantificirana tvrdnja da određeno (prilično složeno) svojstvo ima instanca. Formalno se to odražava na pravila za uklanjanje operatora opisa koja su navedena gore.