Tenzorska analiza, grana matematike koja se odnosi na odnose ili zakone koji ostaju valjani bez obzira na sustav koordinata koji se koristi za određivanje količina. Takvi se odnosi nazivaju kovarijantni. Tenzori su izumljeni kao proširenje vektora kako bi se formaliziralo manipuliranje geometrijskih cjelina koje nastaju u istraživanju matematičkih mnogobroja.
Vektor je cjelina koja ima i veličinu i smjer; predstavljiv je crtanjem strelice, a kombinira se s sličnim cjelinama prema paralelogramskom zakonu. Zbog tog zakona vektor ima komponente - različit skup za svaki koordinatni sustav. Kad se promijeni koordinatni sustav, komponente vektora se mijenjaju prema matematičkom zakonu transformacije koji se može zaključiti iz paralelogramskog zakona. Ovaj zakon transformacije komponenata ima dva važna svojstva. Prvo, nakon niza promjena koje završe u izvornom koordinatnom sustavu, komponente vektora bit će iste kao na početku. Drugo, odnosi između vektora - na primjer, tri vektora U, V, W, tako da 2U + 5V = 4W - bit će prisutni u komponentama bez obzira na koordinatni sustav.
Vektor se stoga može smatrati entitetom koji u n-dimenzionalnom prostoru ima n komponenti koje se transformišu prema posebnom zakonu transformacije koji ima gornja svojstva. Sam vektor je objektivni entitet neovisan o koordinatama, ali tretira se u smislu komponenti sa svim koordinatnim sustavima na jednakoj osnovi.
Bez inzistiranja na slikovnoj slici, tenzor je definiran kao objektivni entitet koji ima komponente koje se mijenjaju prema zakonu transformacije koji je generalizacija zakona o vektorskoj transformaciji, ali koji zadržava dvije ključne osobine tog zakona. Radi praktičnosti, koordinate su obično numerirane od 1 do n, a svaka komponenta tenzora označena je slovom s natpisima i pretplatama, a svako neovisno preuzima vrijednosti od 1 do n. Tako bi tenzor predstavljen komponentama T ab c imao bi n 3 komponente kao vrijednosti a, b i c da se kreću od 1 do n. Skaleri i vektori predstavljaju posebne slučajeve tenzora, pri čemu prvi ima samo jednu komponentu po koordinatnom sustavu, a drugi n. Svaki linearni odnos između tenzorskih komponenti, kao što je 7R a bcd + 2S a bcd - 3T a bcd = 0, ako vrijedi u jednom koordinatnom sustavu, vrijedi u svim i tako predstavlja odnos koji je objektivan i neovisan o koordinatnim sustavima uprkos nedostatak slikovnog prikaza.
Posebno su zanimljiva dva tenzora, nazvana metrički i tenzor zakrivljenosti. Metrički tenzor koristi se, na primjer, za pretvaranje vektorskih komponenti u veličine vektora. Radi jednostavnosti, razmotrite dvodimenzionalni slučaj s jednostavnim okomitim koordinatama. Neka vektor V ima komponente V 1, V 2. Potom je pitagorejski teorem primijenjen na desni trokut OAP kvadrat veličine magnetske vrijednosti V dat jeOP 2 = (V 1) 2 + (V 2) 2.
Skriven u ovoj jednadžbi je metrički tenzor. Skriven je jer se ovdje sastoji od 0 i 1 koji nisu zapisani. Ako je jednadžba prepisana u oblikuOP 2 = 1 (V 1) 2 + 0V 1 V 2 + 0V 2 V 1 + 1 (V 2) 2, očit je čitav niz komponenti (1, 0, 0, 1) metričkog tenzora. Ako se koriste poševne koordinate, formula za OP 2 poprima općenitiji oblikOP 2 = g 11 (V 1) 2 + g 12 V 1 V 2 + g 21 V 2 V 1 + g 22 (V 2) 2, količine g 11, g 12, g 21, g 22 su nove komponente metričkog tenzora.
Iz metričkog tenzora moguće je konstruirati složeni tenzor, nazvan tenzor zakrivljenosti, koji predstavlja različite aspekte unutarnje zakrivljenosti n-dimenzionalnog prostora kojem pripada.
Tenzori imaju brojne primjene u geometriji i fizici. Stvarajući svoju opću teoriju relativnosti, Albert Einstein je tvrdio da zakoni fizike moraju biti isti bez obzira koji se koordinatni sustav koristi. To ga je natjeralo da izrazi te zakone u smislu tenzorskih jednadžbi. Već je iz njegove posebne teorije relativnosti bilo poznato da su vrijeme i prostor toliko povezani, da čine nedjeljivi četverodimenzionalni prostor-vrijeme. Einstein je postulirao da gravitacija mora biti predstavljena isključivo u smislu metričkog tenzora četverodimenzionalnog prostora-vremena. Kako bi izrazio relativistički zakon gravitacije, on je kao građevni blok imao metrički tenzor i tenzor zakrivljenosti oblikovan iz njega. Jednom kada se odlučio ograničiti na ove građevne blokove, njihova vrlo neiscrpnost dovela ga je do suštinski jedinstvene tenzorske jednadžbe za zakon gravitacije, u kojoj gravitacija nije nastala kao sila, već kao manifestacija zakrivljenosti prostora-vremena.
Dok su se tenzori proučavali ranije, uspjeh Einsteinove opće teorije relativnosti stvorio je trenutni široki interes matematičara i fizičara za tenzore i njihovu primjenu.
