Sturm-Liouville matematika problema

Sturm-Liouvilleov problem, ili svojstveni problem, u matematici, određena klasa parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDE) podložna dodatnim ograničenjima, poznatim kao granične vrijednosti, na rješenjima. Takve jednadžbe su uobičajene i u klasičnoj fizici (npr. Toplinskoj provodljivosti) i u kvantnoj mehanici (npr. Schrödingerova jednadžba) kako bi se opisali procesi u kojima se neka vanjska vrijednost (granična vrijednost) drži konstantnom, dok sustav od interesa prenosi neki oblik energije.

Sredinom 1830-ih francuski matematičari Charles-François Sturm i Joseph Liouville samostalno su radili na problemu provođenja topline kroz metalnu šipku, razvijajući tehnike za rješavanje velike klase PDE-a, od kojih je najjednostavnija forma [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 gdje je y neka fizikalna količina (ili funkcija kvantnog mehaničkog vala), a λ je parametar, ili svojstvena vrijednost, koja ograničava jednadžbu tako da y zadovoljava granične vrijednosti na krajnjim točkama intervala na kojem se varijabla x nalazi. Ako funkcije p, q i r zadovoljavaju prikladne uvjete, jednadžba će imati obitelj rješenja, nazvanih svojstvenim funkcijama, koja odgovaraju vlastitim vrijednostima rješenja.

Za složeniji nehomogeni slučaj u kojem je desna strana gornje jednadžbe funkcija, f (x), a ne nula, svojstvene vrijednosti odgovarajuće homogene jednadžbe mogu se usporediti s vlastitim vrijednostima izvorne jednadžbe. Ako su ove vrijednosti različite, problem će imati jedinstveno rješenje. S druge strane, ako se jedna od tih svojstvenih vrijednosti podudara, problem će imati rješenje ili cijelu obitelj rješenja, ovisno o svojstvima funkcije f (x).