Teorija kategorija
Apstrakcija iz matematike
Jedna nedavna tendencija u razvoju matematike bio je postupan proces apstrakcije. Norveški matematičar Niels Henrik Abel (1802–29) dokazao je da jednadžbe petog stupnja općenito ne mogu riješiti radikali. Francuski matematičar Évariste Galois (1811–32), dijelom motiviran Abelovim radom, uveo je određene skupine permutacija kako bi odredio potrebne uvjete da se polinomna jednadžba razriješi. Te su konkretne skupine ubrzo stvorile apstraktne skupine, koje su opisane aksiomatično. Tada je shvaćeno da je za proučavanje skupina potrebno sagledati odnos između različitih skupina - posebice, homomorfizme koji preslikavaju jednu skupinu u drugu, uz očuvanje grupnih operacija. Tako su ljudi počeli proučavati ono što se danas naziva konkretnom kategorijom grupa, čiji su objekti grupe i čije su strelice homomorfizmi. Nije trebalo dugo da se konkretne kategorije zamijene apstraktnim kategorijama, opet opisanim aksiomatično.
Važni pojam kategorije uveli su Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane na kraju Drugog svjetskog rata. Te se moderne kategorije moraju razlikovati od Aristotelovih kategorija koje su u današnjem kontekstu bolje nazvane tipovima. Kategorija nema samo objekte nego i strelice (koje se nazivaju i morfizmi, transformacije ili preslikavanja).
Mnoge kategorije imaju skupove objekata obdarene nekom strukturom i strelicama, koje zadržavaju tu strukturu. Dakle, postoje kategorije skupova (s praznom strukturom) i preslikavanja, skupina i homomorfizmi skupina, prstenova i prstenastih homomorfizama, vektorskih prostora i linearnih transformacija, topoloških prostora i kontinuiranih preslikavanja, i tako dalje. Na još apstraktnijoj razini postoji kategorija (malih) kategorija i funktora, kako se nazivaju morfizmi među kategorijama, koji čuvaju odnose među objektima i strelicama.
Ne mogu se sve kategorije promatrati na ovakav konkretan način. Na primjer, formule deduktivnog sustava mogu se promatrati kao objekti kategorije čija strelica f: A → B su odbitci B od A. Zapravo, ovo je gledište važno u teorijskoj računalnoj znanosti, gdje se misli na formule kao vrste i odbitci kao operacije.
Formalnije, kategorija se sastoji od (1) zbirke objekata A, B, C,.,., (2) za svaki uređeni par objekata u zbirci povezana kolekcija transformacija, uključujući identitet I A ∶ A → A, i (3) pridruženi zakon sastava za svaki naručeni trostruki objekt u kategoriji kao što je za f ∶ A → B i g ∶ B → C sastav gf (ili g ○ f) je transformacija iz A u C - tj. gf ∶ A → C. Uz to, potrebno je pridržavati se asocijativni zakon i identiteti (gdje pripravci su definirane) -ie, h (GF) = (Hg) f i 1 B f = F = f1.
U određenom smislu objekti apstraktne kategorije nemaju prozore, poput monada Leibniz. Za zaključivanje unutrašnjosti objekta A potrebno je pogledati samo sve strelice s drugih objekata na A. Na primjer, u kategoriji skupova, elementi skupa A mogu biti predstavljeni strelicama iz tipično postavljenog jednog elementa u A. Slično tome, u kategoriji malih kategorija, ako jedna je kategorija s jednim ciljem i bez nonidentity strelice, objekti kategorije a može se identificirati s funktori 1 → a. Štoviše, ako dvoje je kategorija sa dva objekta i jedan nonidentity strelice strelice za A mogu se identificirati s funktori 2 → A.
Izomorfne strukture
Strelica f: A → B se zove istolikost ako je strijela g: B → Obrnuti do f, koji je, kao što g ○ f = 1 i f ○ g = 1 B. Ovo je napisano A ≅ B, a A i B se nazivaju izomorfni, što znači da u osnovi imaju istu strukturu i da ih nema potrebe razlikovati. Budući da su matematički entiteti objekti kategorija, oni se daju samo do izomorfizma. Njihove tradicionalne setno-teorijske konstrukcije, osim što služe korisnoj svrsi pri pokazivanju dosljednosti, doista su nevažne.
Na primjer, u uobičajenoj konstrukciji prstena od cijelih brojeva, cijeli je broj definiran kao klasa ekvivalencije parova (m, n) prirodnih brojeva, pri čemu je (m, n) ekvivalentan (m ', n') ako i samo ako je m + n '= m' + n. Ideja je da se ekvivalentna klasa (m, n) promatra kao m - n. Ono što je bitno za kategoričara je, međutim, da je prsten gers cijelih brojeva početni objekt u kategoriji prstenova i homomorfizama - odnosno da za svaki prsten a postoji jedinstveni homomorfizam ℤ → ℝ. Gledano na ovaj način, ℤ se daje samo do izomorfizma. U istom duhu treba reći ne da je ℤ sadržan u polju rational racionalnih brojeva, već samo da je homomorfizam ℤ → ℚ jedan-na-jedan. Isto tako, nema smisla govoriti o skupovno-teorijskom sjecištu π i kvadratnog korijena od √-1, ako su oba izražena kao skupovi skupova skupova (ad infinitum).
Posebno zanimljivi zaklade i na drugim mjestima su susjedni fuktori (F, G). To su parovi funktora između dvije kategorije ? i ℬ, koji idu u suprotnim smjerovima, tako da postoji korespondencija jedan na jedan između skupa strelica F (A) → B u ℬ i skupa strelica A → G (B) u ? - to jest, tako da su skupovi izomorfni.
