Diophantus, po imenu Diophantus iz Aleksandrije, (procvjetao oko 250. g.), Grčki matematičar, poznat po svom radu u algebri.
teorija brojeva: Diophantus
Od kasnijih grčkih matematičara, posebno je zapažen Diofant iz Aleksandrije (procvat oko 250.), autor
Ono što se malo zna o Diofantovom životu je slučajno. Iz naziva "Aleksandrija" proizlazi da je radio u glavnom znanstvenom središtu starogrčkog svijeta; i zato što se ne spominje prije 4. stoljeća, čini se vjerojatnim da je procvjetao tijekom 3. stoljeća. Aritmetički epigram iz Anthologia Graeca kasne antike, zamišljen da bi ukazao na neke značajke svog života (brak u 33, rođenje sina u 38, smrt sina četiri godine prije vlastite u 84), može se vjerojatno stvoriti. Dva djela stigla su do nas pod njegovim imenom, oba nepotpuna. Prvi je mali ulomak na mnogokutnim brojevima (broj je mnogokutnik ako se isti broj točaka može organizirati u obliku pravilnog poligona). Drugi, veliki i iznimno utjecajan traktat na kojem počiva sva drevna i moderna slava Diofanta, je njegova Aritmetika. Njegova je povijesna važnost dvostruka: to je prvo poznato djelo koje koristi algebru u modernom stilu, a nadahnulo je ponovno rođenje teorije brojeva.
Aritmetika započinje uvodom upućenim Dionizu - vjerojatno Svetom Dioniziju Aleksandrijskom. Nakon nekih općenitosti o brojevima, Diofant objašnjava svoju simboliku - koristi simbole za nepoznato (koje odgovaraju našem x) i njegove moći, pozitivne ili negativne, kao i za neke aritmetičke operacije - većina tih simbola su očigledno kratice. Ovo je prva i jedina pojava algebarske simbolike prije 15. stoljeća. Nakon što je podučavao množenje sila nepoznatih, Diofant objašnjava množenje pozitivnih i negativnih izraza i zatim kako reducirati jednadžbu na samo pozitivne izraze (standardni oblik koji je preferiran u antici). S ovim preliminarnim postupcima Diophantus nastavlja s problemima. Doista, Arithmetica je u osnovi skup problema s rješenjima, njih oko 260 u dijelu koji još uvijek postoji.
U uvodu se također kaže da je djelo podijeljeno u 13 knjiga. Šest takvih knjiga bilo je poznato u Europi u kasnom 15. stoljeću, a na grčki su ih prenijeli bizantski učenjaci i brojili su od I do VI; četiri druge knjige otkrivene su 1968. u arapskom prijevodu iz 9. stoljeća Qus byā ibn Lūqā. Međutim, arapskom tekstu nedostaje matematičke simbolike, a čini se da se temelji na kasnijem grčkom komentaru - možda komentaru Hipatije (oko 370–415.) - koji je razrijedio Diofantovo izlaganje. Sada znamo da se numeriranje grčkih knjiga mora izmijeniti: Arithmetica se na taj način sastoji od knjiga od I do III na grčkom, knjiga od IV do VII na arapskom i, vjerojatno, knjiga od VIII do X na grčkom (nekadašnje grčke knjige IV do VI). Daljnje prebrojavanje broja malo je vjerojatno; prilično je sigurno da su Bizantinci poznavali samo šest knjiga koje su prenijeli, a Arapi ne više od Knjige I do VII u komentiranoj verziji.
Problemi iz knjige I nisu karakteristični jer su uglavnom jednostavni problemi koji se koriste za ilustraciju algebarske obračuna. Razlike u problemima Diofanta pojavljuju se u kasnijim knjigama: oni su neodređeni (imaju više od jednog rješenja), drugog su stupnja ili se mogu reducirati na drugi stupanj (najveća snaga u varijabilnim terminima je 2, tj. X 2), a završavamo određivanjem pozitivne racionalne vrijednosti za nepoznato koje će dati dani algebarski izraz numerički kvadrat ili ponekad kocka. (Diofant se kroz svoju knjigu koristi "brojem" da bi se nazvao pozitivnim, racionalnim brojevima; dakle, kvadratni broj je kvadrat nekog pozitivnog, racionalnog broja.) Knjige II i III također podučavaju opće metode. U tri problema knjige II objašnjeno je kako predstaviti: (1) bilo koji dati kvadratni broj kao zbroj kvadrata dvaju racionalnih brojeva; (2) bilo koji dati ne-kvadratni broj, koji je zbroj dva poznata kvadrata, kao zbroj dvaju drugih kvadrata; i (3) bilo koji dani racionalni broj kao razlika dvaju kvadrata. Dok su prvi i treći problem općenito navedeni, pretpostavljeno znanje jednog rješenja u drugom problemu sugerira da nije svaki racionalni broj zbroj dva kvadrata. Diofant kasnije daje uvjet za cijeli broj: navedeni broj ne smije sadržavati nijedan primarni faktor oblika 4n + 3, podignut na neparnu snagu, gdje je n ne-negativni cijeli broj. Takvi su primjeri motivirali ponovno rođenje teorije brojeva. Iako je Diofant obično zadovoljan rješenjem problema, on u problemima ponekad spominje postojanje beskonačnog broja rješenja.
Diophantus se u knjigama IV do VII proširio s osnovnim metodama poput gore navedenih na probleme viših stupnjeva koji se mogu svesti na binomnu jednadžbu prvog ili drugog stupnja. Predgovori ovih knjiga govore da je njihova svrha pružiti čitatelju "iskustvo i vještinu." Iako ovo nedavno otkriće ne povećava znanje o Diofantovoj matematici, mijenja promjenu njegove pedagoške sposobnosti. Knjige VIII i IX (vjerojatno grčke knjige IV i V) rješavaju teže probleme, čak i ako osnovne metode ostaju iste. Na primjer, jedan problem uključuje dekompoziciju danog cijelog broja u zbroj dvaju kvadrata koji su proizvoljno blizu jedan drugom. Sličan problem uključuje dekompoziciju danog cijelog broja na zbroj tri kvadrata; u njemu Diofant isključuje nemogući slučaj cijelih brojeva oblika 8n + 7 (opet, n je ne-negativni cijeli broj). Knjiga X (vjerojatno grčka knjiga VI) bavi se pravokutnim trokutima s racionalnim stranama i podložnim je raznim daljnjim uvjetima.
Sadržaj tri knjige koje nedostaju iz aritmetike može se predpostaviti iz uvoda, gdje, nakon što je rekao da smanjenje problema „ako je moguće“ završava binomnom jednadžbom, Diophantus dodaje da će „kasnije“ razmotriti slučaj trikomalne jednadžbe - obećanje koje nije ispunjeno u postojećem dijelu.
Iako je imao na raspolaganju ograničene algebarske alate, Diophantus je uspio riješiti veliki niz problema, a Arithmetica je nadahnula arapske matematičare poput al-Karajija (c. 980–1030) na primjenu njegovih metoda. Najpoznatije proširenje Diofantinog djela bio je Pierre de Fermat (1601–65), utemeljitelj moderne teorije brojeva. Na marginama svoje kopije Arithmetica Fermat je napisao razne primjedbe, predlažući nova rješenja, ispravke i generalizacije Diophantusovih metoda, kao i neke pretpostavke poput Fermatove posljednje teoreme, koja je okupirala matematičare u narednim generacijama. Neodređene jednadžbe ograničene na integralna rješenja postale su poznate, iako neprimjereno, kao Diofantine jednadžbe.
